Esperanza, Varianza y Desviación Estándar

Esperanza Matemática

En estadistica la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Nota: El primer paréntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de 1€, por eso es negativo el valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

Propiedades

Constantes

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entonces E[c] = c.

Linealidad

La esperanza es un operador lineal, ya que:

por ende:

Donde  x e  y son variables aleatorias y a y b son dos constantes cualesquiera.

Ejemplos:

1.- Una persona que juega la ruleta americana, sabiendo que esta tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

2.- El valor esperado cuando María Fajardo tira un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmetica.

 Varianza

La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca estén las Xi a su media menos es la varianza. Y se define y expresa matemáticamente de la siguiente manera:

La varianza para datos no agrupados

Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma) elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética"

Matemáticamente, se expresa como:

  

Propiedades de la varianza

·        σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

·        Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.

·        Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

·        Si se disponen de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas varianzas, se puede hallar la varianza total aplicando la fórmula

σ2=σ21+σ22+…+σ2nn

En el caso de que las distribuciones tengan distinto tamaño, la fórmula se pondera y queda como

σ2=σ21k1+σ22k2+…+σ2nknk1+k2+…+kn

Ejemplo 1

En la Escuela de Enfermería En un examen Fisiología, todos los alumnos de la clase sacaron un diez. Hallar la varianza de las notas.

Al coincidir todos los valores la media coincide también con ellos x¯=10, y la varianza es nula σ2=0.

Ejemplo 2

En un estudio realizado en la población merideña sobre el Chikungunya asistieron personas con edades comprendidas: 2, 4, 5,8, 10, 10, 15, 38. Calcular la varianza de las edades.

Aplicando la fórmula x¯=2+4+5+8+10+10+15+389=929=10.22 se obtiene la media.

Seguidamente se aplica la fórmula de la varianza:

σ2=2−10.22)2+(4−10.22)2+(5−10.22)2+(8−10.22)2+(10−10.22)2+(10−10.22)2+(15−10.22)2+(38−10.22)29==10.222+8.222+6.222+5.222+2.222+0.222+4.782+27.7829=

 67.5684+38.6884+27.2484+4.9284+0.0484+22.8484+771.72849

=933.11=115.28

La Desviación Estándar

Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se estima con respecto a este valor.

Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega "sigma" (δ) ó por la letra S mayúscula, según otros analistas.

Cálculo de la Desviación Estándar

δ = √δ2 ó S = √S2

Propiedades de la Desviación Estándar

A su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

·        La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será siempre ³ 0 por definición. Cuando S = 0 è X = xi (para todo i).

·        Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.

·        La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable

·        Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía.

·        Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.

Ejemplo:

1.- Del cálculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de la facultad de Biòanalisis de sexto semestre se obtuvo δ2=25 como la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √25 = 5

2.- Para encontrar le desviación estándar de las cuentas por cobrar de la Farmacia Farmatodo y Asociados, recordemos que la varianza obtenida fue de 600.005, luego entonces la desviación estándar es igual a δ =√600005 = 774,5 bolívares.